Геометрия, 7-й класс, 2023-2024 годы

• 11 декабря 2023 года
• 14 декабря 2023 года
• 18 декабря 2023 года
• 25 декабря 2023 года
• 15 января 2024 года
• 22 января 2024 года
• 25 января 2024 года
• 29 января 2024 года
• Отвлечение номер раз
• 11 марта 2024 года
• Отвлечение номер два: объяснительно-музыкальное
• 20 марта 2024 года
• 25 марта 2024 года
• 1 апреля 2024 года ;)
• 15 апреля 2024 года
• 17 апреля 2024 года
• Отвлечение номер три: резонанс
• 24 апреля 2024 года
• Книжка раз: Ивс/Ньюсом
• 4 мая 2024 года

Задано на среду, 13 декабря 2023 года.

Задача 1. Прямые AB и CD пересекаются в точке O — внутренней точке обоих отрезков. Равны следующие пары отрезков: |AO| и |OC|, |OB| и |OD|. Равенство каких ещё пар отрезков мы можем доказать? Найти хотя бы одну пару и доказать их равенство.

Задача 2. Дана окружность с центром в точке O. На окружности отмечены три точки, A, B и С так, что угол AOC меньше развёрнутого, а луч OB пересекает отрезок AC в точке P. Кроме этого, ∠AOB = ∠BOC. Найти следующие отношения длин:

1. |AB|/|BC|,
2. |AP|/|PC|.

Задано на понедельник, 18 декабря 2023 года.

Задача 1. Завершите доказательство равенства углов, прилежащих к основанию (AB) равнобедренного (|AC|=|BC|) △ABC. Мы остановились на том, что обсудили (но не доказали) истинность высказывания △ABC≅△BAC.

Задача 2. В треугольнике ABC точка D∈AB, а в треугольнике A'B'C' точка D'∈A'B'. Известно, что △ADC≅△B'D'C' и |DB|=|D'A'|. Докажите, что △ABC≅△B'A'C'.

Задача 3. В △ABC точка P∈AC, а точка Q∈BC. Доказать, что (△ABP≅△BAQ) ⇒ (△ABC — равнобедренный).

Задано на среду, 20 декабря 2023 года.

Задача 1. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC из прямого угла проведена медиана CM. Периметр треугольника равен 3√2(1 + √2), |AC|=3. Найти длину медианы, если дополнительно известно, что ∠CAB=π/4.
Напоминание 1: вы пока не можете пользоваться соотношением для суммы углов треугольника (если бы оно было изучено, то вы бы и сами доказали, что ∠CAB=π/4). Теоремой Пифагора (которая для нашего случая гласит |AC|²+|BC|²=|AB|²) также пользоваться не следует: иначе из значения величины периметра длину |AC| вы бы искали самостоятельно.
Напоминание 2: √2 — это такое (вещественное) число, что его квадрат равен двум. В остальном, для него справедливы все правила обращения с «обычными» числами: оно может участвовать в стандартных арифметических операциях и подчиняется ассоциативному, коммутативному и дистрибутивному законам (говоря «по-школьному», работает правило перемещения скобок — (x+y)+z = x+(y+z), — перестановочности при сложении да умножении и распределительный закон).

Задача 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB проведена медиана AM. На стороне AC взята точка Q так, что ∠AQM=∠QMB. Доказать, что BQ — медиана △ABC.

Задано на среду, 27 декабря 2023 года.

Задача 1. Для квадрата (на плоскости):

1. найти все его симметрии;
2. найти «таблицу умножения» (композиции) найденных симметрий (она должна удовлетворять аксиомам группы);
3. проверить, что симметрий ≤4!=24 (если получается больше, то это, очевидно, ошибка. Если это не очевидно, то доказать, что более 4! симметрий быть не может). Если получится строго меньше 24 штук, привести соображения о том, куда делись другие перестановки вершин;
4. проверить, не обладает ли полученная таблица композиции теми же свойствами, что и таблица для равностороннего треугольника: в любой строке и столбце все симметрии встречаются лишь однажды. Если обладает, то попробовать вывести этот факт из аксиом группы;
5. найти подгруппы симметрий квадрата.

Задача 2. В треугольнике △ABC проведена медиана BM. На её продолжении (то есть, на луче BM вне △ABC) взята точка Q так, что |AC|=|CQ|=|QB|. Найти отношения отрезков |CQ|/|AB| и |AM|/|MQ|.

Задача 3. В равнобедренном △ABC с основанием AB проведены биссектрисы AP и BQ. Они пересекаются в точке O. Доказать, что △OPQ — равнобедренный.

Задано на среду, 17 января 2024 года.

Задача 1, «правильная» версия задачи 2 из прошлого задания. В треугольнике △ABC проведена медиана BM. На её продолжении (то есть, на луче BM вне △ABC) взята точка Q так, что |AQ|=|CQ|=|CB|. Найти отношения отрезков |CQ|/|AB| и |AM|/|MQ|.

Задача 2. Построить алгоритм построения (с помощью циркуля и линейки) данного угла от заданного луча в выбранную полуплоскость и доказать его корректность.

Задача 3. Построить с помощью циркуля и линейки треугольник, у которого задана длина медианы, опущенной на одну из сторон, длина этой стороны и один из прилежащих к ней углов. Треугольник необходимо построить на заданном луче (который определяет, скажем, обе точки стороны с заданной длиной и вершину заданного угла) и в заданную полуплоскость. Единственный ли треугольник можно построить?

Задано на среду, 22 января 2024 года. Впрочем, разные задачи из него анонсировались в течение предыдущей недели.

Задача 1. Построить углы градусных мер 5π/8 и 3π/8. Делить углы на части, кратные степеням двойки, мы умеем: обсуждали это при построении алгоритма построения биссектрисы данного угла.

Задача 2. Построить равнобедренный остроугольный треугольник по боковой стороне и высоте, проведённой из вершины при  основании. Часть задачи разбирали на уроке.

Задача 3. Дан угол α, меньший прямого. Построить угол, равный π/2 - α/4 (α дан в том смысле, что он отложен где-то на плоскости, а не задана его градусная мера).

Задано на понедельник, 29 января 2024 года. Задача 3 может показаться слегка объёмной: граждане, для которых это именно так, могут сдать решение в среду, 31 января.

Задача 1. Дана пара окружностей с радиусами R₁ и R₂, расстояние между центрами которых равно L. Рассмотреть три случая соотношений суммы радиусов и L,

1. R₁ + R₂ < L,
2. R₁ + R₂ = L,
3. R₁ + R₂ > L,

Задача 2. Центры трёх окружностей с одинаковыми радиусами R расположены в вершинах равностороннего треугольника с длиной стороны a. Классифицировать все случаи пересечения этих окружностей и найти связь количества точек пересечения с соотношениями между R и a. Сами R и a, конечно, как следует из условия, положительны, но никаких других ограничений на их значения не налагается. Поэтому нужно самостоятельно рассмотреть все случаи их соотношения друг с другом.

Задача 3. Центры трёх окружностей с одинаковыми радиусами R расположены в вершинах равнобедренного треугольника с длиной боковой стороны a и основанием b. Сделать то же, что и в предыдущей задаче (только параметров теперь три).

Задано на среду/четверг, 31 января/1 февраля 2024 года.

Задача 1. Прямыми на сфере являются дуги больших окружностей. Можно дать два определения: либо это окружности с радиусом, совпадающим с радиусом сферы, либо это результат пересечения сферы с любой плоскостью, проходящей через центр сферы; в любом случае, конечно, сама большая окружность на сфере лежит полностью.

Общее названия кривых, реализующих экстремальные (минимальные либо максимальные) расстояния — то есть для измерения расстояния между двумя точками мы должны найти такую кривую, проходящую через эти точки, и вычислить длину её отрезка — геодезические.

Вот,

Задано на среду/четверг, 13/14 марта 2024 года.

Задача 1. Завершить доказательство равенства градусной меры центрального угла и удвоенной меры соответствующих ему вписанных в случае, когда вершина семейства вписанных углов лежит на дугах окружности, не принадлежащих ни центральному углу, ни его вертикальному дополнению.

Задача 2. В окружности выделены 6 точек, каждая пара из находящихся рядом (с точки зрения движения по окружности в каком-то выбранном направлении) точек образует хорду длины, равной радиусу окружности. Доказать, что это всегда можно сделать (в смысле того, что никто не сказал, что 6 точек с этим свойством всегда найдутся). Найти (с культурным доказательством, а не «это очевидно» или «я — художник, я так вижу») градусные меры всех образовавшихся вписанных углов, которые найти сможете.

Заниматься разговорами на уроках, не выключать телефон, случайно инициировать на нём любые звуки — безусловно, можно. Мне, надеюсь, удалось слегка проиллюстрировать (вместе с возможным вопросом «а что мы слушаем в наушниках?») следующее суждение: я действительно знаю то, о чём рассказываю и мне всё равно, какой уровень шума присутствует вокруг. А вот, возможно, обучающихся (некоторых?) это — то ли шум/музыка, то ли объяснения: to whom how — (слегка) отвлекает. И об этом неплохо задуматься.

Для тех, кто не присутствовал или не понял, что это было:

• Ю.Г. ft. NONAMERZ и Мандр, Ещё один день
• Мистер Малой, Буду погибать молодым

• Agmageddon, You'll never be mine
• Speedloader, Fucking speedloader
• The megamix of Thunderdome 1-5 (можно попробовать начать со времени 23:23 — там хорошо и спокойно).

Вы хотели party? Не вопрос: нате!

Задано на понедельник, 25 марта 2024 года.

Задача 1. Исследовать случай дельтоида SPQR с попарно равными сторонами, прилегающими к вершинам S и Q (|SP|=|SR| и |QP|=|QR|), у которого точки Q и R лежат в разных полуплоскостях относительно прямой SP. Указать случаи, когда такой дельтоид существует (дополнив сведениями о том, какие углы приводят к равенству ∠P и ∠R), а когда — нет. Привести доказательства формулируемых утверждений.

Задача 2. Доказать выпуклость произвольного невырожденного ромба.

Задано на среду, 27 марта 2024 года.

Задача 1. Провести построение (с помощью циркуля и линейки) прямоугольного равнобедренного треугольника с заданной длиной гипотенузы (пусть она равна с).

Задача 2. Найти положение центра окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника. Естественно, доказать, что найденное положение является именно центром описанной окружности (а не ткнуть в какое-то место плоскости и сказать «здеся!»).

Задано на среду/четверг, 3/4 апреля 2024 года.

Задача 1. Выяснить иррациональность/рациональность чисел вида 1/(⁴√N), где N — натуральное число («обратный корень четвёртой степени из натурального числа). Встречаются ли в геометрии такие величины?

Задача 2. AC — хорда в окружности Ω. Доказать, что прямая, проходящая через середину AC и центр Ω является серединным перпендикуляром к AC.

Задача 3. AC — хорда в окружности Ω. Доказать, что серединный перпендикуляр к этой хорде проходит через центр Ω.

Задано на среду/четверг, 17/18 апреля 2024 года.

Задача 1. Рассмотрим в качестве базовых фигур, образующих единичную площадь,

1. равносторонний треугольник с единичной стороной;
2. ромб со стороной 1 и одной из диагоналей, равной 2;
3. дельтоид со сторонами 2 и 3 да диагональю, являющейся центром симметрии, длины 7.

Задача 2. Вычислить площадь правильного n-угольника, если известны его периметр (P) и радиус описанной вокруг него окружности (R). Замечание: да, величины n, P и R друг с другом связаны, но каким именно образом — мы узнаем на одном из ближайших занятий. Пока же явного вида такой связи можно и не знать.

Задано на понедельник, 22 апреля 2024 года. NB: после занятия 18 апреля домашнее задание было дополнено второй задачей.

Задача 1. В прямоугольном треугольнике ABC, ∠C = π/2, взята внутренняя точка на одном из катетов. Из неё проведён перпендикуляр a к катету, а из точки его пересечения с гипотенузой опущен перпендикуляр b на прямую, содержащую второй катет. Доказать, что прямая b пересекает один из катетов во внутренней точке.

Задача 2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, угол A — прямой. Также проведён диаметр, пересекающий отрезок BC в точке Q; точку его пересечения с окружностью в полуплоскости, не содержащей Q, назовём P. Известно, что ∠COB = 2∠DOP. Найти отношение, в котором точка Q делит отрезок BC.

Мост. Гармоники (собственные колебания). Пуш/ной.  По плану (тоже Пушной; до кучи, которая heap, конечно; Егор, не Крид, точно не Крид).

Задано на четверг, 2 мая 2024 года или где-то около того.

Задача 1. Даны два прямоугольных треугольника с отношениями некоторого из катетов к гипотенузе, не равными друг другу. Доказать, что углы, которые образуют данные катеты с гипотенузой не могут быть равными.

Более «формальная» постановка: даны △ABC и △PQR. ∠C = ∠R = π/2, |AC|/|AB| ≠|PR|/|PQ|. Доказать:∠A ≠ ∠P.

Задача 2. Вычислить синус и косинус следующих углов: 0, π/2, π/3, π/4, π/6.

Задача 3. Из геометрических соображений найти соотношение (подсказка: оно будет неравенством; не обязательно, впрочем, единым для всех значений угла) между синусом угла и его градусной мерой, выраженной в радианах.

Начал эксперимент: читаю прямо из книжки «О математической логике и философии математики»: может быть действительно плохо-то обучающимся без учебника, в котором получится прочесть то, о чём на уроке говорили? Так прямо «говорили» ⇒ «читали». Вот интересно, какая часть людей подумает «можно вообще заняться своим делом: читают-то из книги, а мы как раз читать-то умеем и сами…»?

Вся книга, «Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics» также доступна. С точки зрения «заграничного» языка, надеюсь, тоже.

Задано на понедельник, 13 мая 2024 года.

Задача 1. В книжке Ивса&Ньюсома есть пример высказывания, «9000-й цифра в десятичной записи числа π есть 7»; и авторы говорят «истинность или ложность [высказывания] нам не известна». Вот тут ребяты (а, может, и девушки — истинность или ложность этого мне неведома) посчитали довольно много десятичных знаков, так что теперь-то вы сможете удостовериться в статусе данного высказывания. Сделайте это, приведя последовательность (желательно ваших) действий, которая позволила понять, что же там за цифра.

Для проверки, хотелось бы, чтобы вы попробовали определить истинность/ложность того же утверждения, но относительно 9000-й цифры 9-ричного разложения того же числа: у нас всё-таки праздник 9-го мая, а — я надеюсь — найти в DOM-структуре документа элемент <div> с id=million_pi, вынуть из него содержимое и куда угодно перевести может и ребёнок нынче. По-крайней мере, ребёнков зачем-то учат информатике теперича, как я наслышан.

Спрашивавшим о вычислении π:

• брошюрка Жукова, «тоненькая с цыплёнком»;
• книжка Кумпана, румынского дядьки со смешно-слегка-китайской фамилией.

• Requests (это не обязательно прямо лучший рассказ, но какой есть, а спросить можете у кого угодно: знатоков-то табуны ходят вокруг);
• DOM (тут вообще на индийско-английском, но вас же английскому учат в школе зачем-то);
• разбор данных (тут модно-молодёжно говорят «парсинг», «швейцарский нож» и подобное: дети, не делайте так, учитесь родному языку).

Задача 2. Я при чтении книжки не упомянул пятый из предъявляемых законов логики — закон силлогизма. Его запись такова:

Необходимо проверить, что это — тоже тавтология. Она, с некоторой точки зрения, выражает транзитивность.

Задача 3. Доказать (предоставленные читателю авторами) логическую эквивалентность всех 9-ти (у нас — праздник, напоминаю; и об этом чуть ниже) пар высказываний из таблицы 8 книжки (начало таблицы на стр. 12).

Ниже настало: скажем, Спартак Тимофеевич Беляев когда-то на Рехстаге написал «развалинами Берлина удовлетворён»; о чём потом /зачем-то?/ сожалел, можете сами почитать. Или всю книгу прямо прочесть.